Question

18．設(shè)函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx（x＞0）的圖象與x軸相切于M（3，0）．
（1）求f（x）的解析式，并求y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的單調(diào)減區(qū)間；
（2）是否存在兩個(gè)不等正數(shù)s，t（x＞t），當(dāng)x∈[s，t]時(shí)，函數(shù)f（x）=x³+ax²+bx的值域也是[s，t]，若存在，求出所有這樣的正數(shù)s，t，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知得f′（x）=3x²+2ax+b．依題意f（3）=0，f′（3）=0，解方程即可求出f（x）=x³-6x²+9x． 
（2）由函數(shù)的定義域是正數(shù)知，s＞0，故極值點(diǎn)x=3不在區(qū)間[s，t]上，由此利用分類(lèi)討論思想能求出不存在正數(shù)s，t滿足要求．

解答 解：（1）∵f（x）=x³+ax²+bx，
∴f′（x）=3x²+2ax+b．
依題意則有f（3）=0，f′（3）=0，
即27+9a+3b=0，①
27+6a+b=0，②
解得a=-6，b=9，
∴f（x）=x³-6x²+9x． 
則y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx=x²-6x+9+4lnx，x＞0，
y′=2x-6+$\frac{4}{x}$=$\frac{2{x}^{2}-6x+4}{x}$=$\frac{2（x-1）（x-2）}{x}$，
由y′＜0得1＜x＜2，
即y=$\frac{f（x）}{x}$+4lnx的單調(diào)減區(qū)間為（1，2）．
（2）f′（x）=3x²-12x+9=3（x-1）（x-3），
由f′（x）=0，得x=1或x=3．
列表討論，得：

x	（-∞，1）	1	（1，3）	3	（3，+∞）
f′（x）	+	0	-	0	+
f（x）	增函數(shù)	4	減函數(shù)	0	增函數(shù)

∴函數(shù)f（x）=x³-6x²+9x極大值是4，極小值是0．…（7分）
由函數(shù)的定義域是正數(shù)知，s＞0，故極值點(diǎn)x=3不在區(qū)間[s，t]上，
①若極值點(diǎn)1∈[s，t]，
此時(shí)0＜s≤1≤t＜3，在此區(qū)間上f（x）的最大值是4，不可能等于t，
故在區(qū)間[s，t]上沒(méi)有極值點(diǎn)；
②若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上單調(diào)增，
即0＜s＜t≤1或3＜s＜t，
則$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=s}\\{f（t）=t}\end{array}\right.$，即$\left\{\begin{array}{l}{{s}^{3}-6{s}^{2}+9s=s}\\{{t}^{3}-6{t}^{2}+9t=t}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{s=2}\\{t=4}\end{array}\right.$不合要求．
（3）若f（x）=x³-6x²+9x在[s，t]上單調(diào)減，
即1≤s＜t＜3，則$\left\{\begin{array}{l}{f（s）=t}\\{f（t）=s}\end{array}\right.$，
兩式相減并除s-t，得：（s+t）²-6（s+t）-st+10=0，①
兩式相除并開(kāi)方，得[s（s-3）]²=[t（t-3）]²，即s（3-s）=t（3-t），
整理，并除以s-t，得：s+t=3，②
則①、②得$\left\{\begin{array}{l}{s+t=3}\\{st=1}\end{array}\right.$，即s，t是方程x²-3x+1=0的兩根，
即s=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，t=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$ 不合要求；
綜上，不存在正數(shù)s，t滿足要求．…（14分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)解析式的求法，考查函數(shù)的極值的求法，考查滿足條件的正數(shù)是否存在的判斷與求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意導(dǎo)數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．