Question

12．已知點M為圓C₁：（x+2）²+（y-2$\sqrt{5}$）²=1上的任意一點，點N為動圓C₂：x²+y²-4ax-2（a+1）y+5a²+2a=0（a∈R）的圓心，則線段MN的最小值為（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 2$\sqrt{5}$

Answer 1

分析 求出圓的標準方程，求出圓心坐標和半徑，利用數(shù)形結(jié)合進行求解即可．

解答 解：圓C₁：（x+2）²+（y-2$\sqrt{5}$）²=1的圓心坐標為（-2，2$\sqrt{5}$），半徑R=1，
動圓C₂：x²+y²-4ax-2（a+1）y+5a²+2a=0的標準方程為（x-2a）²+（y-a-1）²=1
則圓心坐標為C₂：（2a，a+1），半徑r=1，C₂：（2a，a+1）在直線l：y=$\frac{1}{2}$x+1，
則C₁C₂⊥l時，線段|C₁C₂|最小，此時MN最小，
此時|C₁C₂|=$\frac{|\frac{1}{2}×（-2）-2\sqrt{5}+1|}{\sqrt{（\frac{1}{2}）^{2}+1}}$=$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{\frac{5}{4}}}=\frac{2\sqrt{5}}{\frac{\sqrt{5}}{2}}$=4，
此時MN的最小值為|C₁C₂|-R=4-1=3，
故選：C．

點評 本題主要考查與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合轉(zhuǎn)化為點到直線的距離是解決本題的關(guān)鍵．