Question

設(shè)數(shù)列{an}為前n項(xiàng)和為Sn，，數(shù)列{ Sn +2}是以2為公比的等比數(shù)列．

(1)求；

(2)抽去數(shù)列{an}中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，……，第3n-2項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列{cn}，若{cn}的前n項(xiàng)和為T(mén)n，求證：

＜≤

 

Answer 1

【答案】

  解：(1)由題意得：，，(1分)　　　　　　　　　

已知數(shù)列{ S_n +2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列

所以有：，    (4分)

當(dāng)時(shí)，，又   (6分)

所以：　　　　(7分)

(２)由(１) 知:，

∴數(shù)列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，……，它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)，公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；(8分)

∴當(dāng) n=2k-1(k∈N^*)時(shí)，

T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k-2)

=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k-3)

=+=×8^k-，(11分)

T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k = ×8^k-，(10分)

　=　　=　+，

∵ 5×8^k-12≥28，∴＜≤3。(11分)

∴當(dāng)n=2k (k∈N^*)時(shí)，

T_n=(c₁+ c₃+…+c_2k-1)+ (c₂+ c₄+…+ c_2k)

=(2²+2⁵+…+2^3k-1)+( 2³+2⁶+…+2^3k)

     =+=×8^k-，(12分)

T_n+1= T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2  = ×8^k-，(13分)

      ∴ 　=　　=　+，∵8^k-1≥7 ，∴＜＜，

∴＜≤。(14分)

【解析】略