Question

設(shè)數(shù)列{a_n}為前n項(xiàng)和為S_n，a₁=2，數(shù)列{ S_n+2}是以2為公比的等比數(shù)列．
（1）求a_n；
（2）抽去數(shù)列{a_n}中的第1項(xiàng)，第4項(xiàng)，第7項(xiàng)，…，第3n-2項(xiàng)，余下的項(xiàng)順序不變，組成一個(gè)新數(shù)列{c_n}，若{c_n}的前n項(xiàng)和為T_n，求證：＜≤．

Answer 1

【答案】分析：（1）由數(shù)列{ S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列可得S_n=2ⁿ⁺¹-2，進(jìn)而可求通項(xiàng)；
（2）新數(shù)列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列．由此入手能證明：＜≤．
解答：解：（1）由題意得：S₁=a₁=2，S₁+2=4，（1分）
已知數(shù)列{ S_n+2}是以4為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列
所以有：S_n+2=2ⁿ⁺¹，S_n=2ⁿ⁺¹-2    （4分）
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=2ⁿ，又a₁=2（6分）
所以：a_n=2ⁿ（n∈N，n≥1）（7分）
（2）由（1）知：a_n=2ⁿ（n∈N，n≥1），
∴數(shù)列{c_n}為2²，2³，2⁵，2⁶，2⁸，2⁹，…，它的奇數(shù)項(xiàng)組成以4為首項(xiàng)，公比為8的等比數(shù)列；偶數(shù)項(xiàng)組成以8為首項(xiàng)、公比為8的等比數(shù)列；（8分）
∴當(dāng) n=2k-1（k∈N^*）時(shí)，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k-2）
=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（ 2³+2⁶+…+2^3k-3）
=+=×8^k-，（11分）
T_n+1=T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k=×8^k-，（10分）
==+，
∵5×8^k-12≥28，∴＜≤3．（11分）
∴當(dāng)n=2k （k∈N^*）時(shí)，
T_n=（c₁+c₃+…+c_2k-1）+（c₂+c₄+…+c_2k）
=（2²+2⁵+…+2^3k-1）+（ 2³+2⁶+…+2^3k）
=+=×8^k-，（12分）
T_n+1=T_n+c_n+1=×8^k-+2^3k+2=×8^k-，（13分）
∴==+，∵8^k-1≥7，∴＜＜，
∴＜≤．（14分）
點(diǎn)評：本題考查數(shù)列的性質(zhì)和綜合運(yùn)用，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意公式的靈活運(yùn)用．