Question

8．四棱錐P-ABCD的三視圖如圖所示，則該四棱錐的外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{81π}{5}$
• B． $\frac{81π}{20}$
• C． $\frac{101π}{5}$
• D． $\frac{101π}{20}$

Answer 1

分析 如圖所示，四棱錐P-ABCD．對(duì)角線AC∩BD=F點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)E，設(shè)此四棱錐外接球的半徑為r，連接OP，OF，OA．設(shè)OF=x，則${x}^{2}+（\frac{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}{2}）^{2}$=$（\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}-x）^{2}$+1，解得x即可得出．

解答 解：如圖所示，四棱錐P-ABCD．
對(duì)角線AC∩BD=F點(diǎn)，取AD的中點(diǎn)E，設(shè)此四棱錐外接球的半徑為r，連接OP，OF，OA．
設(shè)OF=x，則${x}^{2}+（\frac{\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}}{2}）^{2}$=$（\sqrt{{3}^{2}-{2}^{2}}-x）^{2}$+1，
解得x=$\frac{1}{2\sqrt{5}}$．
∴r=OB=$\sqrt{（\frac{1}{2\sqrt{5}}）^{2}+（\sqrt{5}）^{2}}$=$\sqrt{\frac{101}{20}}$．
該四棱錐的外接球的表面積=4πr²=$\frac{101π}{5}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了四棱錐的三視圖、球的表面積計(jì)算公式、勾股定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．