Question

是否存在角α、β，α∈（-

π

2

，

π

2

），β∈（0，π），使等式sin（3π-α）=

2

cos（

π

2

-β），

3

sin（

5π

2

+α）=-

2

cos（π+β）同時成立？若存在，求出α、β的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

考點：兩角和與差的余弦函數(shù)

專題：計算題,存在型,三角函數(shù)的求值

分析：首先由誘導(dǎo)公式簡化已知條件并列方程組，再利用公式sin²β+cos²β=1解方程組，最后根據(jù)特殊角三角函數(shù)值求出滿足要求的α、β．

解答： 答：存在滿足要求的α、β．
解：由條件得sinα=

2

sinβ①，

3

cosα=

2

cosβ②，
①²+②²得sin²α+3cos²α=2，∴cos²α=

1

2

即cosα=±

2

2

．
∵α∈（-

π

2

，

π

2

），
∴α=

π

4

或α=-

π

4

．
將α=

π

4

代入②得cosβ=

3

2

．又β∈（0，π），
∴β=

π

6

，代入①可知，符合．
將α=-

π

4

代入②得β=

π

6

，代入①可知，不符合．
綜上可知α=

π

4

，β=

π

6

．

點評：本題綜合考查誘導(dǎo)公式、同角正余弦關(guān)系式及特殊角三角函數(shù)值．屬于中檔題．