Question

如圖所示，已知α的終邊所在直線上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，4），β的終邊在第一象限且與單位圓的交點(diǎn)Q的縱坐標(biāo)為

2

10

．
（1）求tan（α-β）的值；
（2）若

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，求α+β．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正切函數(shù),任意角的三角函數(shù)的定義

專題：三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由α的終邊所在直線上的一點(diǎn)P的坐標(biāo)為（-3，4），求得tanα，由圖可知sinβ，β終邊在第一象限，求tanβ，代入兩角差正切求tan（α-β）的值；
（2）求α+β，根據(jù)α+β的范圍（

π

2

，

3π

2

），先求其正弦值，然后可求出角的值．

解答： 解：（1）由三角函數(shù)的定義，知tanα=-

4

3

，
又由三角函數(shù)線知sinβ=

2

10

，
∵β為第一象限角，
∴cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

，
∴tanβ=

1

7

，∴tan（α-β）=

- 4 3 - 1 7

1+(- 4 3 )× 1 7

=-

31

19

．
（2）∵cosα=-

3

5

，

π

2

＜α＜π，∴sinα=

4

5

．又sinβ=

2

10

，0＜β＜

π

2

，
cosβ=

1-sin2β

=

1-( 2 10 )2

=

7 2

10

．
∴sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ=

4

5

×

7 2

10

-

4

5

×

2

10

=

2

2

．
由

π

2

＜α＜π，0＜β＜

π

2

，得

π

2

＜α+β＜

3π

2

，
∴α+β=

3π

4

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了三角函數(shù)的定義、三角恒等變換、化簡(jiǎn)、和求值，求值過(guò)程中對(duì)角的范圍、公式的應(yīng)用，符號(hào)的選取要重點(diǎn)把握．