Question

已知數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)為a_n，前n項(xiàng)和為s_n，且a_n是s_n與2的等差中項(xiàng)，數(shù)列{b_n}中，b₁=1，點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}、{b_n}的通項(xiàng)公式a_n，b_n
（Ⅱ）設(shè){b_n}的前n項(xiàng)和為B_n，試比較與2的大�。�
（Ⅲ）設(shè)T_n=，若對一切正整數(shù)n，T_n＜c（c∈Z）恒成立，求c的最小值．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用已知條件得出數(shù)列的通項(xiàng)和前n項(xiàng)和之間的等式關(guān)系，再結(jié)合二者間的基本關(guān)系，得出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，根據(jù){b_n}的相鄰兩項(xiàng)滿足的關(guān)系得出遞推關(guān)系，進(jìn)一步求出其通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用放縮法轉(zhuǎn)化各項(xiàng)是解決該問題的關(guān)鍵，將所求的各項(xiàng)放縮轉(zhuǎn)化為能求和的一個數(shù)列的各項(xiàng)估計其和，進(jìn)而達(dá)到比較大小的目的；
（Ⅲ）利用錯位相減法進(jìn)行求解T_n是解決本題的關(guān)鍵，然后對相應(yīng)的和式進(jìn)行估計加以解決．
解答：解：（Ⅰ）由題意可得2a_n=s_n⁺2，
當(dāng)n=1時，a₁=2，
當(dāng)n≥2時，有2a_n-1=s_n-1⁺2，兩式相減，整理得a_n=2a_n-1即數(shù)列{a_n}是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，故a_n=2ⁿ．
點(diǎn)P（b_n，b_n+1）在直線x-y+2=0上得出b_n-b_n+1+2=0，即b_n+1-b_n=2，
即數(shù)列{b_n}是以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，
因此b_n=2n-1．
（Ⅱ）B_n=1+3+5+…+（2n-1）=n²
∴
=．
（Ⅲ）T_n=①
②
①-②得
∴
又
∴滿足條件Tn＜c的最小值整數(shù)c=3．
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列，等比數(shù)列的判定問題，考查根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系得出數(shù)列通項(xiàng)公式的方法，考查數(shù)列的通項(xiàng)與前n項(xiàng)和之間的關(guān)系，考查數(shù)列求和的思想和方法，考查放縮法估計不等式的有關(guān)問題，考查學(xué)生分析問題解決問題的能力和意識．