Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，前n項和Sn=

1

2

(n+1)(an+1)-1
（Ⅰ）求證：數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）求數(shù)列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（I）知通項與前n項和的關(guān)系，通過仿寫得到兩個等式，作差據(jù)和與項的關(guān)系求出項的遞推關(guān)系，據(jù)等差中項的方法得證．
（II）利用等差數(shù)列的通項公式求出通項．

解答：（Ⅰ）：證明：∵Sn=

1

2

(n+1)(an+1)-1，∴Sn+1=

1

2

(n+2)(an+1+1)-1
∴an+1=Sn+1-Sn=

1

2

[(n+2)(an+1+1)-(n+1)(an+1)]
整理，得na_n+1=（n+1）a_n-1①
∴（n+1）a_n+2=（n+2）a_n+1-1②
②-①得：（n+1）a_n+2-na_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n
即（n+1）a_n+2-2（n+1）a_n+1+（n+1）a_n=0∴a_n+2-2a_n+1+a_n=0，
即a_n+2-a_n+1=a_n+1-a_n∴數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
（II）∵a₁=3，na_n+1=（n+1）a_n-1，
∴a₂=2a₁-1=5∴a₂-a₁=2，
即等差數(shù)列{a_n}的公差為2，
∴a_n=a₁+2（n-1）=2n+1，（n∈N^*）

點評：本題考查由項與和的遞推關(guān)系求項的特定關(guān)系：通過仿寫作差；等差數(shù)列的通項公式．