Question

已知拋物線(xiàn)C：y²=2px（p＞0）和⊙M：x²+y²+8x-12=0，過(guò)拋物線(xiàn)C上一點(diǎn)P（x，y）（y≥0）作兩條直線(xiàn)與⊙M相切與A、B兩點(diǎn)，圓心M到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為．
（Ⅰ）求拋物線(xiàn)C的方程；
（Ⅱ）當(dāng)P點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2）時(shí)，求直線(xiàn)AB的方程；
（Ⅲ）設(shè)切線(xiàn)PA與PB的斜率分別為k₁，k₂，且k₁•k₂₌，求點(diǎn)P（x，y）的坐標(biāo)．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）利用拋物線(xiàn)的定義即可得出；
（Ⅱ）利用兩圓的根軸即可得出；
（Ⅲ）利用直線(xiàn)與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式即可得出．
解答：解：（Ⅰ）由⊙M：x²+y²-8x+12=0，配方得（x-4）²+y²=4，∴圓心M（4，0），半徑r=2．
由題意知：，解得p=1，
∴拋物線(xiàn)C的方程為y²=2x．     
（Ⅱ）設(shè)P（2，2），∵P，A，B，M四點(diǎn)共圓，∴此圓的方程為：（x-4）（x-2）+（y-2）（y-0）=0，①
又⊙M：x²-8x+y²+12=0，②
又由①-②得直線(xiàn)AB的方程：x-y-2=0．                        
（Ⅲ）設(shè)過(guò)P的直線(xiàn)l方程為y-y=k（x-x），由于⊙M與直線(xiàn)l相切，得到，
整理得到：，
∴，即，∴x=2或10，
經(jīng)檢驗(yàn)得點(diǎn)P坐標(biāo)為．
點(diǎn)評(píng)：熟練掌握拋物線(xiàn)的定義、兩圓的根軸的性質(zhì)、直線(xiàn)與圓相切的充要條件、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式是解題的關(guān)鍵．