14.已知f(x)=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$.
(1)判斷f(x)的奇偶性;
(2)證明:當x>0時f(x)>0,當x<0時f(x)<0.

分析 (1)利用奇函數(shù)的定義即可判斷;
(2)設x<0,則-x>0,利用條件即可證明.

解答 (1)解:函數(shù)的定義域為{x|x≠0},
∵f(x)=$\frac{1}{{2}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{x}+1}{{2}^{x}-1}$,
∴f(-x)=$\frac{1}{2}$•$\frac{{2}^{-x}+1}{{2}^{-x}-1}$=-f(x),
∴f(x)是奇函數(shù);
(2)證明:設x<0,則-x>0,
∵當x>0時f(x)>0,
∴f(-x)>0,
∵f(x)是奇函數(shù),
∴-f(x)>0,
∴f(x)<0.

點評 本題考查函數(shù)的奇偶性,考查學生分析解決問題的能力,正確運用函數(shù)的奇偶性的定義是關(guān)鍵.

練習冊系列答案
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4.已知sinα+cosα=$\sqrt{2}m$-3$\sqrt{2}$有意義,則m的取值范圍是[2,4].

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5.已知銳角α、β滿足:①α+2β=$\frac{2π}{3}$,②tan$\frac{α}{2}$tanβ=2-$\sqrt{3}$,求α、β的值.

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2.已知函數(shù)f(x)=x($\frac{1}{{x}^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$).
(1)求函數(shù)f(x)的定義域;
(2)判斷函數(shù)f(x)的奇偶性并證明你的結(jié)論.

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9.已知直線l1:ax-y+1=0與l2:x+ay+1=0(a∈R),給出如下結(jié)論:
①不論a為何值時,l1與l2都互相垂直;
②當a變化時,l1與l2分別經(jīng)過定點A(0,1)和B(-1,0);
③不論a為何值時,l1與l2都關(guān)于直線x+y=0對稱;
④不存在a的值,使l1與l2平行或重合.
其中所有正確的結(jié)論的序號為①②④.

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3.設m∈R,其中實數(shù)x,y滿足$\left\{\begin{array}{l}{x≥m}\\{2x-3y+6≥0}\\{3x-2y-6≤0}\end{array}\right.$.若|x+2y|≤18,則實數(shù)m的最小值-3.

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

10.已知定義域為R的奇函數(shù)f(x)的周期為4,且x∈(0,2)時f(x)=ln(x2-x+b),若函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,2]上恰有5個零點,則實數(shù)b應滿足的條件是( 。
A.-1<b≤1B.-1<b<1或b=$\frac{5}{4}$C.$\frac{1}{4}$<b$≤\frac{5}{4}$D.$\frac{1}{4}$<b≤1或b=$\frac{5}{4}$

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題

7.下列各函數(shù)在其定義域中,既是奇函數(shù),又是增函數(shù)的是( 。
A.y=x+1B.y=-x3C.y=-$\frac{1}{x}$D.y=x|x|

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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題

8.2012年全國中學生機器人大賽選選拔賽中,機器人剛開始在原點位置,為了讓機器人完成某項任務,學生給機器人設置了以下指令:先逆時針旋轉(zhuǎn)α角,然后向前進1米,將該指令進行一次稱為一次操作,試用向量解決以下問題.
(1)當α=$\frac{π}{3}$時,經(jīng)過幾次操作才能回到原點?
(2)是否存在α,使機器人經(jīng)過10次操作,能首次回到原點?

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