Question

13．設(shè)x=log₂（sinθ+cosθ），θ∈（0，$\frac{π}{2}$），則-x-$\frac{1}{x}$的最大值為-$\frac{5}{2}$．

Answer 1

分析 先根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)求出x的范圍，再設(shè)f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，利用函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)最值．

解答 解：∵x=log₂（sinθ+cosθ）=log₂（$\sqrt{2}$sin（θ+$\frac{π}{4}$））=log₂$\sqrt{2}$+log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$）=$\frac{1}{2}$+log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$），
∵θ∈（0，$\frac{π}{2}$），
∴（θ+$\frac{π}{4}$）∈（$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
∴$\frac{\sqrt{2}}{2}$＜sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤1，
∴-$\frac{1}{2}$＜log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤0，
∴0＜$\frac{1}{2}$+log₂sin（θ+$\frac{π}{4}$）≤$\frac{1}{2}$，
∴0＜x≤$\frac{1}{2}$，
設(shè)f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，
∴f′（x）=-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{1-{x}^{2}}{{x}^{2}}$＞0恒成立，
∴f（x）在（0，$\frac{1}{2}$]上為增函數(shù)，
∴f（x）_max=f（$\frac{1}{2}$）=-$\frac{1}{2}$-2=-$\frac{5}{2}$，
故答案為：-$\frac{5}{2}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查了對(duì)數(shù)函數(shù)三角函數(shù)圖象和性質(zhì)，以及利用單調(diào)性求最值，屬于中檔題．