Question

18．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的奇函數(shù)，f（2）=0，當(dāng)x＞0時(shí)，有$\frac{xf'（x）-f（x）}{x^2}＞0$成立，則不等式x²f（x）＞0的解集是（　　）

• A． （-2，0）∪（2，+∞）
• B． （-2，0）∪（0，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，-2）∪（2，+∞）

Answer 1

分析 根據(jù)條件便可得到函數(shù)$g（x）=\frac{f（x）}{x}$在（0，+∞）上單調(diào)遞增，容易判斷g（x）為偶函數(shù)，從而g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減．而解不等式x²f（x）＞0可得f（x）＞0，可以得到f（-2）=f（2）=0，這樣根據(jù)g（x）的單調(diào)性便可得出x＞2和-2＜x＜0時(shí)，f（x）＞0，這樣即可得出原不等式的解集．

解答 解：∵$（\frac{f（x）}{x}）′=\frac{xf′（x）-f（x）}{{x}^{2}}$；
∴x＞0時(shí)，$（\frac{f（x）}{x}）′＞0$；
設(shè)$g（x）=\frac{f（x）}{x}$，則g（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞增；
∵f（x）為奇函數(shù)，f（-x）=-f（x）；
∴$g（-x）=\frac{f（-x）}{-x}=\frac{f（x）}{x}=g（x）$；
∴g（x）為偶函數(shù)；
∴g（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞減；
由x²f（x）＞0得，f（x）＞0；
f（2）=f（-2）=0；
∴①x＞2時(shí)，$g（x）＞\frac{g（2）}{2}$=0；
即x＞2時(shí)，$\frac{f（x）}{x}＞0$，∴f（x）＞0；
②-2＜x＜0時(shí)，g（x）＜g（-2）=$\frac{f（-2）}{-2}=0$；
即-2＜x＜0時(shí)，$\frac{f（x）}{x}＜0$，∴f（x）＞0；
∴原不等式的解集為（-2，0）∪（2，+∞）．
故選A．

點(diǎn)評 考查商的導(dǎo)數(shù)的求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，以及奇函數(shù)、偶函數(shù)的定義，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性特點(diǎn)，不等式的性質(zhì)，增函數(shù)和減函數(shù)定義的運(yùn)用．