Question

7．如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD=AD，E是PB的中點，F(xiàn)是CD上的點且DF=$\frac{1}{2}$AB，PH為△PAD中AD邊上的高．
（Ⅰ）證明：EF∥平面PAD；
（Ⅱ）若PH=1，AD=$\sqrt{2}$，F(xiàn)C=2，求三棱錐E-BCF的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取PA中點M，連接DM，EM，利用三角形中位線定理可得EM∥AB，且EM=$\frac{1}{2}AB$，再由已知AB∥CD，且DF=$\frac{1}{2}$AB，可得EM∥DF，且EM=DF，則四邊形EFDM為平行四邊形，得到EF∥DM，利用線面平行的判定可得EF∥平面PAD；
（Ⅱ）由已知證明AD⊥AB，AD⊥CD，連接BH，取BH中點G，連接EG，由E是PB的中點，可得EG∥PH，結(jié)合PH⊥平面ABCD，得EG⊥平面ABCD，由此能夠求出三棱錐E-BCF的體積．

解答 （Ⅰ）證明：取PA中點M，連接DM，EM，
∵E是PB的中點，
∴EM∥AB，且EM=$\frac{1}{2}AB$，
又AB∥CD，且DF=$\frac{1}{2}$AB，
∴EM∥DF，且EM=DF，則四邊形EFDM為平行四邊形，
∴EF∥DM，
∵DM?平面PAD，EF?平面PAD，
∴EF∥平面PAD；
（Ⅱ）解：∵AB⊥平面PAD，
∴AB⊥AD，又AB∥CD，∴AD⊥CD，
連接BH，取BH中點G，連接EG，
∵E是PB的中點，
∴EG∥PH，
∵PH⊥平面ABCD，
∴EG⊥平面ABCD，
則EG=$\frac{1}{2}$PH=$\frac{1}{2}$，
∴V_E-BCF=$\frac{1}{3}$S_△BCF•EG=$\frac{1}{3}$•$\frac{1}{2}$•FC•AD•EG=$\frac{\sqrt{2}}{12}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，考查多面體體積的求法，是中檔題．