Question

16．設(shè)兩個(gè)非零向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿足：（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，且集合A={x|x²+（|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|）x+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=0}是單元素集合，則＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{4}$．

Answer 1

分析 由（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，得$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{|}^{2}$，再由集合A={x|x²+（|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|）x+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=0}是單元素集合，利用判別式等于0可得|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，代入數(shù)量積求夾角公式可得＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞．

解答 解：由（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）⊥$\overrightarrow$，得（$\sqrt{2}$$\overrightarrow{a}$-$\overrightarrow$）•$\overrightarrow$=$\sqrt{2}\overrightarrow{a}•\overrightarrow-|\overrightarrow{|}^{2}=0$，
即$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=\frac{\sqrt{2}}{2}$$|\overrightarrow{|}^{2}$．
∵集合A={x|x²+（|$\overrightarrow{a}$|+|$\overrightarrow$|）x+|$\overrightarrow{a}$||$\overrightarrow$|=0}是單元素集合，
∴$（|\overrightarrow{a}|+|\overrightarrow|）^{2}-4|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|=（|\overrightarrow{a}|-|\overrightarrow|）^{2}=0$，即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow$|，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow|}=\frac{\frac{\sqrt{2}}{2}|\overrightarrow{|}^{2}}{|\overrightarrow{|}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
∴＜$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$＞=$\frac{π}{4}$．
故答案為：$\frac{π}{4}$．

點(diǎn)評 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，訓(xùn)練了利用數(shù)量積求向量的夾角，是中檔題．