Question

10．如圖，直角梯形ABCD與等腰直角三角形ABE所在的平面互相垂直．AB∥CD，AB⊥BC，AB=2CD=2BC，EA⊥EB．
（1）求直線EC與平面ABE所成角的余弦值；
（2）線段EA上是否存在點F，使EC∥平面FBD？若存在，求出$\frac{EF}{EA}$；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由已知可得BC⊥平面ABE，則∠CEB即為直線EC與平面ABE所成的角，設(shè)BC=a，則AB=2a，BE=$\sqrt{2}$a，可求CE=$\sqrt{3}$a，直角三角形CBE中，即可求得sin∠CEB=$\frac{CB}{CE}$的值，進而可求直線EC與平面ABE所成角的余弦值．
（2）連結(jié)AC，交BD于點M，在AE上取點F，使$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$，連結(jié)MF、BF、DF，證明FM∥EC，即可證明EC∥平面FBD，從而可得點F滿足$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$時，有EC∥平面FBD．

解答 解：（1）因為平面ABE⊥平面ABCD，且AB⊥BC，
所以BC⊥平面ABE．…（1分）
則∠CEB即為直線EC與平面ABE所成的角    …（2分）
設(shè)BC=a，則AB=2a，BE=$\sqrt{2}$a，
所以CE=$\sqrt{3}$a，…（3分）
直角三角形CBE中，sin∠CEB=$\frac{CB}{CE}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$…（4分）
可得：$cos∠CEB=\sqrt{1-\frac{1}{3}}=\frac{{\sqrt{6}}}{3}$…（5分）
即直線EC與平面ABE所成角的余弦值為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$．               …（6分）
（2）存在點F，且$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$時，有EC∥平面FBD． 證明如下：…（7分）
連結(jié)AC，交BD于點M，在AE上取點F，使$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$，連結(jié)MF、BF、D
因為AB∥CD，AB=2CD，
所以$\frac{CM}{MA}=\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$，…（8分）
所以$\frac{CM}{CA}=\frac{1}{3}$，…（9分）
因為$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$，所以FM∥EC…（10分）
EC?平面FBD，
所以EC∥平面FBD．
即點F滿足$\frac{EF}{EA}$=$\frac{1}{3}$時，有EC∥平面FBD．               …（12分）

點評 本題主要考查直線和平面所成角的計算，以及線面平行的判斷，考查了空間想象能力和推理論證能力，屬于中檔題．