Question

20．設數列{a_n}的前n項和為S_n，若對于任意的正整數n都有a_n是S_n與n的等差中項．
（1）求證：數列{a_n+1}是等比數列，并求{a_n}的通項公式；
（2）求數列{na_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析 （1）通過2a_n=S_n+n可知當n=1時a₁=1，當n≥2時2a_n=S_n+n與2a_n-1=S_n-1+n-1作差可知a_n+1=2（a_n-1+1），進而計算可得結論；
（2）通過（1）利用分組法求和及錯位相減法計算即得結論．

解答 （1）證明：根據題意可知：2a_n=S_n+n，…（2分）
當n=1時，2a₁=a₁+1，a₁=1，…（3分）
當n≥2時，2a_n-1=S_n-1+n-1，
相減得：2a_n-2a_n-1=S_n-S_n-1+n-（n-1），…（4分）
整理得：a_n=2a_n-1+1，即a_n+1=2（a_n-1+1），
由于a₁+1=2≠0，則a_n+1≠0，
所以$\frac{{a}_{n}+1}{{a}_{n-1}+1}$=2，（n≥2）…（5分）
所以數列{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列．…（6分）
因為${a_n}+1={2^n}$，
所以${a_n}={2^n}-1$．…（7分）
（2）解：∵$n{a_n}=n•{2^n}-n$，
∴${T_n}=（1•2+2•{2^2}+3•{2^3}+…+n•{2^n}）-（1+2+3+…+n）$，…（9分）
令S=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ，
則2S=1•2²+2•2³+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹，
相減得：-S=2+2²+2³+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹，…（11分）
故 S=（n-1）•2ⁿ⁺¹+2，…（13分）
所以${T_n}=（{n-1}）•{2^{n+1}}+2-\frac{{n（{n+1}）}}{2}$．…（14分）

點評 本題考查數列的通項及前n項和，考查錯位相減法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．