Question

11．在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為正三角形，底面ABCD為邊長為2的正方形，點(diǎn)E為棱PB的中點(diǎn)，則點(diǎn)P到平面ACE的距離為（　�。�

• A． $\frac{\sqrt{7}}{7}$
• B． $\frac{\sqrt{21}}{7}$
• C． $\frac{\sqrt{35}}{7}$
• D． $\frac{2\sqrt{21}}{7}$

Answer 1

分析 取AD中點(diǎn)O，以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過O作AB平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出點(diǎn)P到平面ACE的距離．

解答 解：取AD中點(diǎn)O，連結(jié)PO，
∵在四棱錐P-ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，△PAD為正三角形，∴PO⊥底面ABCD，
∴以O(shè)為原點(diǎn)，OA為x軸，過O作AB平行線為y軸，OP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
B（1，2，0），P（0，0，$\sqrt{3}$），E（$\frac{1}{2}，1，\frac{\sqrt{3}}{2}$），C（-1，2，0），A（1，0，0），
$\overrightarrow{AC}$=（-2，2，0），$\overrightarrow{AE}$=（-$\frac{1}{2}$，1，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），$\overrightarrow{AP}$=（-1，0，$\sqrt{3}$）
設(shè)平面ACE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AC}=-2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{AE}=-\frac{1}{2}x+y+\frac{\sqrt{3}}{2}z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，1，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$），
∴點(diǎn)P到平面ACE的距離為d=$\frac{|\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{|-1+0-1|}{\sqrt{1+1+\frac{1}{3}}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查點(diǎn)到平面的距離的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運(yùn)用．