Question

2．已知函數f（x）=lnx，g（x）=e^x，其中e是自然對數的底數，e=2.71828…
（1）若函數φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$，求函數φ（x）的單調區(qū)間；
（2）若x≥0，g（x）≥kf（x+1）+1恒成立，求實數k的取值范圍；
（3）設直線l為函數f（x）的圖象上一點，A（x₀，f（x₀））處的切線，證明：在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

Answer 1

分析 （1）求出原函數的導函數，確定導數恒大于0，從而可得求函數φ （x）的單調區(qū)間；
（2）把g（x）≥kf（x+1）+1 （x≥0）恒成立，轉化為kln（x+1）≤e^x-1在x≥0時恒成立，然后分k≤0和k＞0討論，當k＞0時，利用放縮法轉化為kln（x+1）≤kx≤e^x-1恒成立求解；
（3）先求直線l為函數的圖象上一點A（x₀，f （x₀））處的切線方程，再設直線l與曲線y=g（x）相切于點（${x}_{1}，{e}^{{x}_{1}}$），進而可得$ln{x}_{0}=\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$，再證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一即可．

解答 （1）解：φ（x）=f（x）-$\frac{x+1}{x-1}$=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$，
φ′（x）=$\frac{1}{x}+\frac{2}{（x-1）^{2}}=\frac{{x}^{2}+1}{x（x-1）^{2}}$．
∵x＞0且x≠1，∴φ'（x）＞0，
∴函數φ（x）的單調遞增區(qū)間為（0，1）和（1，+∞）；
（2）解：由g（x）≥kf（x+1）+1 （x≥0）恒成立，
得e^x≥kln（x+1）+1在x≥0時恒成立，
即kln（x+1）≤e^x-1在x≥0時恒成立，
∵e^x-1≥0，ln（x+1）≥0．
若k≤0，則kln（x+1）≤e^x-1在x≥0時恒成立；
若k＞0，由ln（x+1）≤x，得kln（x+1）≤kx，
由kx≤e^x-1，知當x=0時，對于任意正實數k都成立，
當x＞0時，不等式化為$k＜\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
令h（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，h′（x）=$\frac{x{e}^{x}-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}=\frac{（x-1）{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$．
令φ（x）=（x-1）e^x，則φ′（x）=xe^x＞0，
∴φ（x）=（x-1）e^x在（0，+∞）上為增函數，
則h′（x）＞h′（0）=0，
則h（x）在（0，+∞）上為增函數，
∴h（x）＞h（0）=1．
∴當0＜k≤1時，kln（x+1）≤kx≤e^x-1恒成立．
綜上，若x≥0，則使g（x）≥kf（x+1）+1恒成立的實數k的取值范圍是（-∞，1]；
（3）證明：∵f′（x）=$\frac{1}{x}$，∴f′（x₀）=$\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴切線l的方程為y-lnx₀=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x-x₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}x+ln{x}_{0}-1$，①
設直線l與曲線y=g（x）相切于點（${x}_{1}，{e}^{{x}_{1}}$），
∵g′（x）=e^x，∴${e}^{{x}_{1}}=\frac{1}{{x}_{0}}$，∴x₁=-lnx₀．
∴直線l方程又為y-$\frac{1}{{x}_{0}}$=$\frac{1}{{x}_{0}}$（x+lnx₀），
即y=$\frac{1}{{x}_{0}}x+\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}+\frac{1}{{x}_{0}}$，②
由①②得$ln{x}_{0}-1=\frac{ln{x}_{0}}{{x}_{0}}+\frac{1}{{x}_{0}}$，
∴$ln{x}_{0}=\frac{{x}_{0}+1}{{x}_{0}-1}$．
下面證明在區(qū)間（1，+∞）上x₀存在且唯一．
由（1）可知，φ（x）=lnx-$\frac{x+1}{x-1}$在區(qū)間（1，+∞）上遞增．
又φ（e）=lne-$\frac{e+1}{e-1}$=$\frac{-2}{e-1}＜0$，φ（e²）=$ln{e}^{2}-\frac{{e}^{2}+1}{{e}^{2}-1}=\frac{{e}^{2}-3}{{e}^{2}-1}＞0$，
結合零點存在性定理，說明方程φ（x）=0必在區(qū)間（e，e²）上有唯一的根，這個根就是所求的唯一x₀．
在區(qū)間（1，+∞）上存在唯一的x₀，使得直線l與曲線y=g（x）相切．

點評 本題考查利用導數研究過曲線上某點處的切線方程，考查導數知識的綜合運用運用，考查數學轉化思想方法，體現了分類討論的數學思想方法，訓練了函數零點存在性定理的用法，綜合性比較強，難度較大，屬壓軸題．