分析:方法一:
(1)證明一條直線與一個平面平行,除了可以根據(jù)直線與平面平行的判定定理以外,通常還可以通過平面與平面平行進行轉(zhuǎn)化,比如在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,平面BB1C1C∥平面AA1D1D,BE?平面BB1C1C,所以BE∥平面AA1D1D.
(2)二面角的度量關(guān)鍵在于找出它的平面角,構(gòu)造平面角常用的方法就是三垂線法.BC⊥平面C1CDD1,所以過C作CH⊥ED于H,連接BH,則∠BHC是二面角B-ED-C的平面角.
(3)由三垂線定理可知,A1C⊥BD;故只需要在平面BDE再構(gòu)造一條相交直線與A1C垂直即可:連接B1C,因為A1B1⊥平面B1BCC1,所以B1C是A1C在平面B1BCC1上的射影,由三垂線定理可知,只需B1C⊥BE,則A1C⊥BE
方法二:
以A為坐標原點,分別以AB、AD、AA1為x、y、z軸,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz.這種解法的好處就是:(1)解題過程中較少用到空間幾何中判定線線、面面、線面相對位置的有關(guān)定理,因為這些可以用向量方法來解決.(2)即使立體感稍差一些的學(xué)生也可以順利解出,因為只需畫個草圖以建立坐標系和觀察有關(guān)點的位置即可.
解答:解:方法一:
(Ⅰ)證明:由已知,ABCD-A
1B
1C
1D
1為正四棱柱,
所以平面BB
1C
1C∥平面AA
1D
1D,
又因為BE?平面BB
1C
1C,
所以,BE∥平面AA
1D
1D.(4分)
(Ⅱ)解:如圖,過C作CH⊥ED于H,連接BH.
因為ABCD-A
1B
1C
1D
1為正四棱柱,所以BC⊥平面C
1CDD
1.
則CH是斜線BH在面C
1CDD
1上的射影,所以BH⊥ED.
所以∠BHC是二面角B-ED-C的平面角.
在Rt△ECD中,易知CH•ED=EC•CD.
因為
EC=1,CD=2,ED=,所以
CH=.
在Rt△BCH中,
tan∠BHC===,所以
∠BHC=arctan,
所以,二面角B-ED-C的大小是
arctan.(9分)
(Ⅲ)如圖,連接AC交BD于點O,
因為ABCD-A
1B
1C
1D
1為正四棱柱,AC⊥BD,AA
1⊥平面ABCD,
由三垂線定理可知,A
1C⊥BD.
連接B
1C,因為A
1B
1⊥平面B
1BCC
1,
所以B
1C是A
1C在平面B
1BCC
1上的射影.
要使A
1C⊥平面BDE,只需A
1C⊥BE,由三垂線定理可知,只需B
1C⊥BE.
由平面幾何知識可知,
B
1C⊥BE?△BCE∽△B
1BC?
=.
由已知BB
1=AA
1=4,BC=AB=2,所以
CE===1.
即當CE=1時,A
1C⊥平面BDE.(14分)
方法二:
建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,如圖.
(Ⅰ)證明:依題意可設(shè)E(2,2,z),
因為B(2,0,0),所以
=(0,2,z).
又因為
=(2,0,0),
為平面AA
1D
1D的法向量.
且
•=(2,0,0)•(0,2,z)=0,
所以
⊥,而BE?平面AA
1D
1D,
所以,BE∥平面AA
1D
1D.
(Ⅱ)因為CE=1,所以E(2,2,1),又B(2,0,0),D(0,2,0),
所以
=(0,2,1),
=(-2,2,0).
設(shè)平面BDE的法向量為
=(x,y,1),
由
得
所以
所以
n=(-,-,1).又AD⊥面CC
1D
1D,所以
為平面CDE的法向量.
因為
=(0,2,0),所以
cos?n,?==-.
由圖可知,二面角的平面角小于90°,所以二面角B-ED-C的大小是
arccos.
(Ⅲ)解:連接AC交BD于點O.
因為ABCD-A
1B
1C
1D
1為正四棱柱,
所以AC⊥BD.
要使A
1C⊥平面BDE,只需A
1C⊥BE.
由題意B(2,0,0),C(2,2,0),A
1(0,0,4),
設(shè)CE=x,則E(2,2,x),
所以
=(0,2,x),
=(2,2,-4).
由
•=0,得(0,2,x)•(2,2,-4)=0×2+2×2+x×(-4)=4-4x=0,
解得x=1.所以CE=1時,A
1C⊥平面BDE.
點評:本小題主要考查空間線面關(guān)系、二面角的度量等知識,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想方法,以及空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力.