已知函數(shù)f(x)=x+
ax

（1）若f（2）=4，求a的值；
（2）x＞0時(shí)，f（x）的圖象如圖，看圖指出y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間，并證明你的結(jié)論．
（3）請(qǐng)根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)畫出f（x）（x＜0）的草圖（無需列表）．
分析：（1）把x=2代入f（x），求得a的值；
（2）由圖象得y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間，用定義證明f（x）的單調(diào)性；
（3）f（x）是定義域上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，根據(jù)x＞0時(shí)f（x）的圖象，可以畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象．
解答：解：（1）∵f(2)=2+
a
2
=4∴a=4，即a的值是4；
（2）由圖知，y=f（x）（x＞0）的減區(qū)間是(0，
a
)
證明：設(shè)任意的x1，x2，且0＜x1＜x2＜
a
；
則f（x1）-f（x2）=（x1+
a
x1
）-（x2+
a
x2
）=(x1-x2)(1-
a
x1x2
)=(x1-x2)(
x1x2-a
x1x2
)；
∵0＜x1＜x2＜
a
，∴x1x2＜a，∴x1x2-a＜0，
∴f（x1）-f（x2）＜0；
∴f（x）在(0，
a
)上單調(diào)遞減．
（3）∵函數(shù)f(x)=x+
a
x
（x≠0），∴f（-x）=-x+
a
-x
=-（x+
a
x
）=-f（x），
∴f（x）是定義域上的奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；
根據(jù)x＞0時(shí)f（x）的圖象，畫出x＜0時(shí)f（x）的圖象，如圖．
點(diǎn)評(píng)：本題考查了基本初等函數(shù)的性質(zhì)與應(yīng)用問題，根據(jù)函數(shù)的圖象寫出單調(diào)性以及應(yīng)用奇偶性畫出函數(shù)的圖象等知識(shí)，是基礎(chǔ)題．
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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知函數(shù)f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)為偶函數(shù)，且f（3）＜f（5）．
（1）求m的值，并確定f（x）的解析式；
（2）若g（x）=loga[f（x）-ax]（a＞0且a≠1），是否存在實(shí)數(shù)a，使g（x）在區(qū)間[2，3]上的最大值為2，若存在，請(qǐng)求出a的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2011•上海模擬）已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：浙江省東陽中學(xué)高三10月階段性考試數(shù)學(xué)理科試題 題型：022

已知函數(shù)f(x)的圖像在[a，b]上連續(xù)不斷，f1(x)＝min{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，f2(x)＝max{f(t)|a≤t≤x}(x∈[a，b])，其中，min{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最小值，max{f(x)|x∈D}表示函數(shù)f(x)在D上的最大值，若存在最小正整數(shù)k，使得f2(x)－f1(x)≤k(x－a)對(duì)任意的x∈[a，b]成立，則稱函數(shù)f(x)為[a，b]上的“k階收縮函數(shù)”．已知函數(shù)f(x)＝x2，x∈[－1，4]為[－1，4]上的“k階收縮函數(shù)”，則k的值是_________．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：上海模擬 題型：解答題

已知函數(shù)f(x)=(
x
a
-1)2+(
b
x
-1)2，x∈(0，+∞)，其中0＜a＜b．
（1）當(dāng)a=1，b=2時(shí)，求f（x）的最小值；
（2）若f（a）≥2m-1對(duì)任意0＜a＜b恒成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（3）設(shè)k、c＞0，當(dāng)a=k2，b=（k+c）2時(shí)，記f（x）=f1（x）；當(dāng)a=（k+c）2，b=（k+2c）2時(shí)，記f（x）=f2（x）．
求證：f1(x)+f2(x)＞
4c2
k(k+c)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：2009-2010學(xué)年河南省許昌市長(zhǎng)葛三高高三第七次考試數(shù)學(xué)試卷（理科）（解析版） 題型：選擇題

已知函數(shù)f（x）、g（x），下列說法正確的是（ ）
A．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是奇函數(shù)，則f（x）+g（x）是奇函數(shù)
B．f（x）是偶函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）是偶函數(shù)
C．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）一定是奇函數(shù)或偶函數(shù)
D．f（x）是奇函數(shù)，g（x）是偶函數(shù)，則f（x）+g（x）可以是奇函數(shù)或偶函數(shù)

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