Question

18．在邊長(zhǎng)為1的正△ABC中，D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)（D靠近于點(diǎn)B），則$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$等于（　�。�

• A． $\frac{1}{6}$
• B． $\frac{2}{9}$
• C． $\frac{13}{18}$
• D． $\frac{1}{3}$

Answer 1

分析 由題意畫(huà)出圖形，把$\overrightarrow{AD}、\overrightarrow{AE}$分別用$\overrightarrow{AB}、\overrightarrow{AC}$表示，展開(kāi)后得答案．

解答 解：如圖，

$|\overrightarrow{AB}|=|\overrightarrow{AC}|=1$，＜$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$＞=60°，
∵D，E是邊BC的兩個(gè)三等分點(diǎn)，
∴$\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{AE}$=$（\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}）•（\overrightarrow{AC}+\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}）$=$（\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}）•（\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}）$
=$\frac{2}{9}|\overrightarrow{AB}{|}^{2}+\frac{5}{9}\overrightarrow{AB}•\overrightarrow{AC}+\frac{2}{9}|\overrightarrow{AC}{|}^{2}$=$\frac{2}{9}+\frac{5}{9}×1×1×\frac{1}{2}+\frac{2}{9}=\frac{13}{18}$．
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，考查了向量加法、減法的三角形法則，是中檔題．