Question

如圖，在三棱錐V-ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中點，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（Ⅰ）求證：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）當確定角θ的值，使得直線BC與平面VAB所成的角為．

Answer 1

【答案】分析：法一：（Ⅰ）要證平面VAB⊥平面VCD，只需證明平面VAB內(nèi)的直線AB，垂直平面VCD內(nèi)的兩條相交直線CD、VC即可；
（Ⅱ）過點C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，說明∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角．求出，使得直線BC與平面VAB所成的角為．
法二：以CA，CB，CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，
（Ⅰ） 建立如圖所示的空間直角坐標系，證明，，推出AB⊥平面VCD，即可證明平面VAB⊥平面VCD．
（Ⅱ）求出平面VAB的一個法向量，利用，求出使得直線BC與平面VAB所成的角為的θ的值．
解答：解法1：（1）∵AC=BC=a，∴△ABC是等腰三角形，
又D是AB的中點，∴CD⊥AB，
又VC⊥底面ABC，∴VC⊥AB．于是AB⊥平面VCD，
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）過點C在平面VCD內(nèi)作CH⊥VD于H，則由（1）知CH⊥平面VAB．連接BH，
于是∠CBH就是直線BC與平面VAB所成的角，依題意，所以
在Rt△CHD中，；
在Rt△BHC中，，
∴，
∵，∴，
故當時，
直線BC與平面VAB所成得角為．

解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，
則C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，
于是，，，．
從而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．


（2）設(shè)平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z）
則由，得
可取，
又，
于是=，
即，
∵，∴，
故當時，直線BC與平面VAB所成得角為．

解法3：（1）以點D為原點，以DC、DB所在的直線分別為x軸、y軸．
建立如圖所示的空間直角坐標系，
則D（0，0，0），，，，，
于是，，．
從而，即AB⊥DC，
同理，即AB⊥DV．
又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．

（2）設(shè)平面VAB的一個法向量為n=（x，y，z），
則由得
取n=（tanθ，0，1），
又，于是，
即．
又∵，∴．
故當時，直線BC與平面VAB所成的角為．

點評：本小題主要考查線面關(guān)系、直線與平面所成角的有關(guān)知識，考查空間想象能力和推理運算能力以及應(yīng)用向量知識解決數(shù)學(xué)問題的能力