Question

設(shè)函數(shù)f（x）=a^x+3a（其中a＞0且a≠1）．
（1）求函數(shù)y=f^-1（x）的解析式；
（2）設(shè)函數(shù)g（x）=log_a（x-a），h（x）=f^-1（x）+g（x），如果當(dāng)x∈[a+2，+∞）時(shí)，h（x）≤1恒成立，求a的取值范圍．

Answer 1

（1）f^-1（x）=log_a（x-3a），x∈（3a，+∞）．…（4分）
（2）h（x）=f^-1（x）+g（x）=log_a（x-3a）+log_a（x-a）=log_a（x²-4ax+3a²），x∈（3a，+∞）．…（6分）
依題意，a+2＞3a?0＜a＜1．…（8分）
由h（x）≤1?log_a（x²-4ax+3a²）≤1?x²-4ax+3a²≥a，即x²-4ax+3a²-a≥0．…（10分）
設(shè)T（x）=x²-4ax+3a²-a，其對(duì)稱軸x=2a＜a+2，所以函數(shù)T（x）在[a+2，+∞）單調(diào)遞減．
由T（x）_min=T（a+2）=（a+2）²-4a（a+2）+3a²-a=4-5a≥0，解得a≤

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．…（13分）
又0＜a＜1，所以a的取值范圍是( 0 ， 

4

5

 ]．…（14分）