Question

（2012•臨沂二模）從小到大排列的三個數(shù)構成等比數(shù)列，它們的積為8，并且這三個數(shù)分別加上2、2、1后成等差數(shù)列{a_n}中的a₃、a₄、a₅．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）若b_n=

an+1

an

+

an

an+1

，數(shù)列{b_n}的前項和為T_n，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先通過條件計算出a₃、a₄、a₅，進而求出首項和公差，從而求出通項公式．
（Ⅱ）通過式子求b_n，然后求T_n．

解答：解：（Ⅰ）設小到大排列的三個數(shù)分別為

a

q

，a，aq，則

a

q

?a?aq=a3=8，解得a=2．所以這三個數(shù)為

2

q

，2，2q．這三個數(shù)分別加上2、2、1后為

2

q

+2，4，2q+1，即a3=

2

q

+2，a4=4，a5=2q+1，
又a₃、a₄、a₅為等差數(shù)列，所以a₃+a₅=2a₄，即

2

q

+2+2q+1=2×4=8，即2q²-5q+2=0．解得q=2或q=

1

2

．
因為三個數(shù)是從小到大成等比數(shù)列，所以q=

1

2

不成立，舍去，所以q=2．
所以三個數(shù)為，1，2，4．即a₃=3，a₄=4，a₅=5．
所以公差d=1，所以數(shù)列{a_n}的通項公式為an=a3+(n-3)=n，n∈N•．
（Ⅱ）因為bn=

an+1

an

+

an

an+1

=

n+1

n

+

n

n+1

=2+

1

n

-

1

n+1

，
所以Tn=(2+1-

1

2

)+(2+

1

2

-

1

3

)+…+(2+

1

n

-

1

n+1

)
=2n+1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=2n+1-

1

n+1

=2n+

n

n+1

．
即數(shù)列{b_n}的前項和為Tn=2n+

n

n+1

，n∈N•．

點評：本題考查等差數(shù)列和等比數(shù)列的基本運算，等差數(shù)列的通項公式，以及數(shù)列求和．