Question

13．底面為正方形的四棱錐S-ABCD，且SD⊥平面ABCD，SD=$\sqrt{2}$，AB=1，線段SB上一M點滿足$\frac{SM}{MB}$=$\frac{1}{2}$，N為線段CD的中點，P為四棱錐S-ABCD表面上一點，且DM⊥PN，則點P形成的軌跡的長度為（　�。�

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{5\sqrt{2}}{4}$
• C． $\frac{3\sqrt{2}}{2}$
• D． 2$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 取AD的中點E，則EN⊥DM，利用向量求出SD上一點F，使得EF⊥DM，故而P點軌跡為△EFN．

解答 解：以D為坐標(biāo)原點，以DA，DC，DS為坐標(biāo)軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：
則B（1，1，0），S（0，0，$\sqrt{3}$），N（0，$\frac{1}{2}$，0），D（0，0，0），M（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），
取AD的中點E，則E（$\frac{1}{2}$，0，0），∴$\overrightarrow{DM}$=（$\frac{1}{3}$，$\frac{1}{3}$，$\frac{2\sqrt{2}}{3}$），$\overrightarrow{EN}$=（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$，0），
∴$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{EN}$=0，即DM⊥EN，
在SD上取一點F，設(shè)F（0，0，a），則$\overrightarrow{EF}$=（-$\frac{1}{2}$，0，a），
設(shè)DM⊥EF，則$\overrightarrow{DM}•\overrightarrow{EF}=0$，即-$\frac{1}{a}$+$\frac{2\sqrt{2}a}{3}$=0，解得a=$\frac{1}{4\sqrt{2}}$，
∴DM⊥平面EFN，
∴P點軌跡為△EFN．
∵EF=FN=$\sqrt{{a}^{2}+\frac{1}{4}}$=$\frac{3\sqrt{2}}{8}$，EN=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴△EFN的周長為$\frac{3\sqrt{2}}{8}×2+\frac{\sqrt{2}}{2}$=$\frac{5\sqrt{2}}{4}$．
故選：B．

點評 本題考查了棱錐的結(jié)構(gòu)特征，空間向量與線面垂直的判定，屬于中檔題．