Question

4．已知對(duì)?x∈（0，+∞），不等式2ax＞e^x-1恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值是（　�。�

• A． 2
• B． 1
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{1}{4}$

Answer 1

分析 根據(jù)不等式恒成立，進(jìn)行轉(zhuǎn)化，構(gòu)造函數(shù)，求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的最值即可．

解答 解：對(duì)?x∈（0，+∞），不等式2ax＞e^x-1恒成立，
則2a＞$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
設(shè)f（x）=$\frac{{e}^{x}-1}{x}$，
則f′（x）=$\frac{{e}^{x}•x-{e}^{x}+1}{{x}^{2}}$，
設(shè)g（x）=xe^x-e^x+1，
當(dāng)x＞0時(shí)，g′（x）=e^x+xe^x-e^x=xe^x＞0，
即函數(shù)g（x）=xe^x-e^x+1在（0，+∞）上為增函數(shù)，
則g（x）＞g（0）=0，則f′（x）＞0，即函數(shù)f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，
∵$\underset{lim}{x→0}$f（x）=$\underset{lim}{x→0}$$\frac{{e}^{x}-1}{x}$=$\underset{lim}{x→0}$e^x=e⁰=1，
∴f（x）＞1，則要使2a＞$\frac{{e}^{x}-1}{x}$恒成立，
則2a≥1，即a≥$\frac{1}{2}$
則a的最小值是$\frac{1}{2}$，
故選：C．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考不等式恒成立問題，利用參數(shù)轉(zhuǎn)化法，利用構(gòu)造法構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值是解決本題的關(guān)鍵．