Question

已知關于x函數f（x）=（1-a）x²+（a+2）x-4，a為實數，求：
（1）函數f（x）在[-2，1]只存在一個零點，求a的取值范圍；
（2）函數f（x）的所有零點都大于0，求a的取值范圍．

Answer 1

解：（1）∵函數在[-2，1]只存在一個零點，∴f（-2）×f（1）≤0．…（2分）
（等號不同時�。�，即：-1（-6a-4）≤0，解得：，即a的取值范圍為（-∞，-]． …（5分）
（2）①當1-a=0時，即a=1，則3x-4=0，解得：（符合題意）．…（8分）
②當1-a≠0時，即a≠1，則滿足：，…（11分）
推出，可得1＜a≤2，或a≥10．…（13分）
綜合以上情況，所求的a的取值范圍為[1，2]∪[10，+∞）． …（14分）
分析：（1）由函數在[-2，1]只存在一個零點，可得f（-2）×f（1）≤0 （等號不同時�。�，即：-1（-6a-4）≤0，由此求得a的取值范圍．
（2）①當1-a=0時，即a=1，則3x-4=0，解得符合題意． ②當1-a≠0時，即a≠1，則由 ，再求得a的取值范圍．
最后將求得的兩個a的取值范圍取并集，即得所求．
點評：本題主要考查函數的零點的定義，函數的零點與方程的根的關系，體現了轉化的數學思想，屬于基礎題．