Question

2．如圖，四邊形ABCD與BDEF均為邊長為2的菱形，∠DAB=∠DBF=60°，且FA=FC．
（1）求證：FC∥平面EAD；
（2）求點A到平面BDEF的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知分別證明FB∥ED，BC∥AD，再由面面平行的判定可得平面FBC/平面EAD，進一步得到FC∥平面EAD；
（2）設AC∩BD=O，則O為AC的中點，可得FO⊥AO，又AO⊥BD，由線面垂直的判定可得AO⊥平面BDEF，在菱形ABCD中，求解三角形得答案．

解答 證明：（1）∵BDEF是菱形，∴FB∥ED，
又ED?平面EAD，FB?平面EAD，∴FB∥平面EAD，
∵ABCD是菱形，∴BC∥AD，
又AD?平面EAD，BC?平面EAD，∴BC∥平面EAD，
又FB∩BC=B，FB?平面EAD，BC?平面EAD，
∴平面FBC∥平面EAD，
又FC?平面FBC，∴FC∥平面EAD；
解：（2）設AC∩BD=O，則O為AC的中點，
∵FA=FC，∴FO⊥AO，
又AO⊥BD，FO∩BD=O，∴AO⊥平面BDEF，
在菱形ABCD中，
∵AB=2，∠DAB=60°，∴$AO=\sqrt{3}$，
故點A到平面BDEF的距離為$\sqrt{3}$．

點評 本題考查直線與平面平行的判定，考查空間想象能力和思維能力，訓練了空間中點到面距離的求法，是中檔題．