Question

16．若不等式|2x-3|＜4與不等式x²+px+q＜0的解集相同
（ I）求實數(shù)p，q值；
（ II）若正實數(shù)a、b、c滿足a+b+c=2p-4q，求證：$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 （I）求出不等式的解集，根據(jù)一元二次不等式與一元二次方程的關(guān)系得出p，q的值；
（II）利用分析法尋找不等式成立的充分條件，結(jié)合基本不等式的性質(zhì)得出．

解答 解：（I）∵|2x-3|＜4，-4＜2x-3＜4，解得-$\frac{1}{2}$＜x＜$\frac{7}{2}$，
∴x²+px+q=0的解為-$\frac{1}{2}$和$\frac{7}{2}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-p=3}\\{q=-\frac{7}{4}}\end{array}\right.$，即p=-3，q=-$\frac{7}{4}$．
（II）證明：由（I）知a+b+c=2p-4q=1，
要證：$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$．
只需證：（$\sqrt{a}$+$\sqrt$+$\sqrt{c}$）²≤3，即證a+b+c+2（$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$）≤3，
∵a+b+c=1，
故只需證：$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$≤1，
∵a，b，c均為正數(shù)，
∴$\sqrt{ab}$≤$\frac{a+b}{2}$，$\sqrt{bc}$≤$\frac{b+c}{2}$，$\sqrt{ac}$≤$\frac{a+c}{2}$，
∴$\sqrt{ab}$+$\sqrt{bc}$+$\sqrt{ac}$≤$\frac{2（a+b+c）}{2}$=a+b+c=1，
∴$\sqrt{a}+\sqrt+\sqrt{c}≤\sqrt{3}$．

點評 本題考查了不等式的解法，不等式的證明，屬于中檔題．