Question

設(shè)函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax2-9x-1（a＞0），直線l是曲線y=f（x）的一條切線，當(dāng)l斜率最小時(shí)，直線l與直線10x+y=6平行．
（1）求a的值；
（2）求f（x）在x=3處的切線方程．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點(diǎn)切線方程,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用切線的斜率的最小值，以及直線l與直線10x+y=6平行．即可求a的值；
（2）利用（1）得到函數(shù)的解析式，求出函數(shù)的對(duì)數(shù)，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，斜率，利用點(diǎn)斜式即可求解f（x）在x=3處的切線方程．

解答： 解：（1）函數(shù)f（x）=

1

3

x3+ax2-9x-1，可得f′（x）=x²+2ax-9=（x+a）²-9-a²
∴斜率的最小值為-9-a²，直線l與直線10x+y=6平行．
∴-9-a²=-10．
得：a=1．
（2）則f(x)=

1

3

x3+x2-9x-1，f′（x）=x²+2x-9
則f（3）=-10，f′（3）=6，
切點(diǎn)坐標(biāo)為：（3，-10），
切線為：y+10=6（x-3）．
即：y=6x-28．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線的斜率以及切線方程的求法，考查計(jì)算能力．