Question

如圖所示，圓O的直徑為BD，過(guò)圓上一點(diǎn)A作圓O的切線AE，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AE于點(diǎn)E，延長(zhǎng)ED與圓O交于點(diǎn)C．
（1）證明：DA平分∠BDE；
（2）若AB=4，AE=2，求CD的長(zhǎng)．

Answer 1

考點(diǎn)：相似三角形的判定

專題：立體幾何

分析：（1）由于AE是⊙O的切線，可得∠DAE=∠ABD．由于BD是⊙O的直徑，可得∠BAD=90°，因此∠ABD+∠ADB=90°，∠ADE+∠DAE=90°，即可得出∠ADB=∠ADE．．
（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，可得

AE

AD

=

AB

BD

，BD=2AD．因此∠ABD=30°．利用DE=AEtan30°．切割線定理可得：AE²=DE•CE，即可解出．

解答： （1）證明：∵AE是⊙O的切線，∴∠DAE=∠ABD，
∵BD是⊙O的直徑，∴∠BAD=90°，
∴∠ABD+∠ADB=90°，
又∠ADE+∠DAE=90°，
∴∠ADB=∠ADE．
∴DA平分∠BDE．
（2）由（1）可得：△ADE∽△BDA，∴

AE

AD

=

AB

BD

，
∴

2

AD

=

4

BD

，化為BD=2AD．
∴∠ABD=30°．
∴∠DAE=30°．
∴DE=AEtan30°=

2 3

3

．
由切割線定理可得：AE²=DE•CE，
∴22=

2 3

3

(

2 3

3

+CD)，
解得CD=

4 3

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了弦切角定理、圓的性質(zhì)、相似三角形的性質(zhì)、直角三角形的邊角公式、切割線定理，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題．