Question

19．已知函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（1-a）x-alnx\;，\;a∈R$．
（1）若f（x）存在極值點(diǎn)為1，求a的值；
（2）若f（x）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)x₁，x₂，求證：$a＞\frac{e}{2}$（e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，ln2≈0.6931）．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，由題意可得f'（1）=0，解方程可得a的值；
（2）求出f（x）的導(dǎo)數(shù)，討論當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）遞增，不成立；當(dāng)a＞0時(shí)，求出單調(diào)區(qū)間和極小值，由題意可得f（a）＜0，即$\frac{1}{2}{a^2}+（1-a）a-alna＜0$整理得$lna＞1-\frac{1}{2}a$，令$h（a）=lna+\frac{1}{2}a-1$，運(yùn)用零點(diǎn)存在定理，即可得證．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=\frac{1}{2}{x^2}+（1-a）x-alnx\;，\;a∈R$，
可得$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}$，因?yàn)閒（x）存在極值點(diǎn)為1，
所以f'（1）=0，即2-2a=0，a=1，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意，所以a=1；
（2）證明：f（x）的導(dǎo)數(shù)為$f'（x）=x+1-a-\frac{a}{x}=（x+1）（1-\frac{a}{x}）（x＞0）$，
①當(dāng)a≤0時(shí)，f'（x）＞0恒成立，所以f（x）在（0，+∞）上為增函數(shù)，不符合題意；
②當(dāng)a＞0時(shí)，由f'（x）=0得x=a，
當(dāng)x＞a時(shí)，f'（x）＞0，所以f（x）為增函數(shù)，
當(dāng)0＜x＜a時(shí)，f'（x）＜0，所f（x）為增函減數(shù)，
所以當(dāng)x=a時(shí)，f（x）取得極小值f（a），
又因?yàn)閒（x）存在兩個(gè)不同零點(diǎn)，所以f（a）＜0，
即$\frac{1}{2}{a^2}+（1-a）a-alna＜0$
整理得$lna＞1-\frac{1}{2}a$，
令$h（a）=lna+\frac{1}{2}a-1$，$h'（a）=\frac{1}{a}+\frac{1}{2}＞0$，h（a）在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，$h（\frac{e}{2}）•h（e）=（ln\frac{e}{2}+\frac{e}{4}-1）（lne+\frac{e}{2}-1）=\frac{e}{2}（\frac{e}{4}-ln2）$，
由ln2≈0.6931，e≈2.71828知$\frac{e}{4}-ln2＜0$，
故$a＞\frac{e}{2}$成立．

點(diǎn)評(píng) 本小題主要考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的知識(shí)，具體涉及到導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算，用導(dǎo)數(shù)來(lái)研究函數(shù)的單調(diào)性等，考查學(xué)生解決問(wèn)題的綜合能力．