Question

11．當x∈{x|（log₂x）²-log₂x-2≤0}時，函數(shù)y=4^x-2^x+3的最小值是5-$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 化簡集合{x|（log₂x）²-log₂x-2≤0}，求出x的取值范圍，
再求函數(shù)y的最小值即可．

解答 解：因為{x|（log₂x）²-log₂x-2≤0}={x|（log₂x+1）（log₂x-2）≤0}
={x|-1≤log₂x≤2}
={x|$\frac{1}{2}$≤x≤4}，
且函數(shù)y=4^x-2^x+3=2^2x-2^x+3=${{（2}^{x}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{11}{4}$，
所以，當x=$\frac{1}{2}$時，函數(shù)y取得最小值是
${（\sqrt{2}-\frac{1}{2}）}^{2}$+$\frac{11}{4}$=5-$\sqrt{2}$．
故答案為：5-$\sqrt{2}$．

點評 本題考查了指數(shù)與對數(shù)不等式的解法與應(yīng)用問題，解題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為等價的不等式，是基礎(chǔ)題目．