Question

1．正四面體的四個頂點(diǎn)都在以原點(diǎn)O（0，0，0）為球心，半徑為1的球面上，已知該正四面體的一個頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，0，1），另一個頂點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（m，n，p），則下列選項(xiàng)正確的是（　�。�

• A． $\overrightarrow{OP}$與$\overrightarrow{OQ}$的夾角為120°
• B． m²+n²=p²
• C． mn＜0
• D． p＜0

Answer 1

分析 對4個選項(xiàng)分別進(jìn)行判斷，即可得出結(jié)論．

解答 解：設(shè)正四面體的棱長為2a，則底面三角形的高為$\sqrt{3}$a，正四面體的高為$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a，
∵正四面體的外接球的半徑為1，
∴$\frac{3}{4}$×$\frac{2\sqrt{6}}{3}$a=1，∴a=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴cos∠POQ=$\frac{1+1-（\frac{2\sqrt{6}}{3}）^{2}}{2×1×1}$=-$\frac{1}{3}$，∴A不正確；
m²+n²+p²=1，B不正確，
Q在xOy平面下方，故C不正確，D正確．
故選：D．

點(diǎn)評 本題考查球的內(nèi)接四面體，考查學(xué)生的計算能力，屬于中檔題．