Question

6．已知四邊形ABCD為平行四邊形，A（0，3），B（4，1），D為邊AB的垂直平分線與x軸的交點．
（Ⅰ）求點C的坐標
（Ⅱ）一條光線從點D射出，經(jīng)直線AB反射，反射光線經(jīng)過CD的中點E，求反射光線所在直線的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設(shè)出D的坐標，根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求出D，從而求出C的坐標即可；
（Ⅱ）求出D的對稱點D′以及E的坐標，求出直線方程即可．

解答 解：（Ⅰ）設(shè)D（x，0），由題意可得DA=DB，
故有x²+3²=（x-4）²+1²，∴x=1，即D（1，0）．
設(shè)C（a，b），由題意四邊形ABCD為平行四邊形，
可得$\overrightarrow{AD}$=$\overrightarrow{BC}$，即（ 1，-3）=（ a-4，b-1）
解得a=5，b=-2，
∴點C的坐標（5，-2）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）直線AB的方程是：y=-$\frac{1}{2}$x+3，即：x+2y-6=0，E（3，-1）
設(shè)點D（1，0）關(guān)于直線AB：x+2y-6=0的對稱點為D′（m，n），
則$\left\{\begin{array}{l}{\frac{m+1}{2}+2•\frac{n}{2}-6=0}\\{\frac{n}{m-1}=2}\end{array}\right.$，解得：D′（3，4），
∴反射光線即為經(jīng)過點E（3，-1）和D′（3，4）的直線，
∴反射光線的方程是x=3．

點評 本題考查平行四邊形的性質(zhì)，考查直線的一般式方程和對稱性，屬基礎(chǔ)題．