Question

14．已知各項均不為零的數(shù)列{a_n}，定義向量$\overrightarrow{{c}_{n}}$=（a_n，a_n+1），$\overrightarrow{_{n}}$=（n，n+1），n∈N^*．下列命題中真命題是（　�。�

• A． 若任意n∈N^*總有$\overrightarrow{{c}_{n}}$⊥$\overrightarrow{_{n}}$成立，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
• B． 若任意n∈N^*總有$\overrightarrow{{c}_{n}}$∥$\overrightarrow{_{n}}$成立，則數(shù)列{a_n}是等比數(shù)列
• C． 若任意n∈N^*總有$\overrightarrow{{c}_{n}}$⊥$\overrightarrow{_{n}}$成立，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列
• D． 若任意n∈N^*總有$\overrightarrow{{c}_{n}}$∥$\overrightarrow{_{n}}$成立，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析平面向量平行、垂直的坐標(biāo)表示，
從而判斷數(shù)列{a_n}是否為等差或等比數(shù)列．

解答 解：∵向量$\overrightarrow{{c}_{n}}$=（a_n，a_n+1），$\overrightarrow{_{n}}$=（n，n+1），n∈N^*；
∴當(dāng)$\overrightarrow{{c}_{n}}$∥$\overrightarrow{_{n}}$，（n+1）a_n-na_n+1=0，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$；
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=$\frac{n}{n-1}$•$\frac{n-1}{n-2}$•$\frac{n-2}{n-3}$•…•$\frac{2}{1}$•a₁
=na₁，
∴數(shù)列{a_n}為等差數(shù)列，
∴D正確，B錯誤；
當(dāng)$\overrightarrow{{c}_{n}}$⊥$\overrightarrow{_{n}}$時，na_n+（n+1）a_n+1=0，
即$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=-$\frac{n}{n+1}$；
∴a_n=$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$•$\frac{{a}_{n-1}}{{a}_{n-2}}$•$\frac{{a}_{n-2}}{{a}_{n-3}}$•…•$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$•a₁
=-$\frac{n-1}{n}$•（-$\frac{n-2}{n-1}$）•（-$\frac{n-3}{n-2}$）•…•（-$\frac{1}{2}$）•a₁
=$\frac{{（-1）}^{n-1}}{n}$•a₁；
∴數(shù)列{a_n}既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，
∴A、C錯誤．
故選：D．

點評 本題考查了平面向量平行的坐標(biāo)表示，也考查了等差與等比數(shù)列的應(yīng)用問題，是中檔題．