Question

16．已知海島B在海島A的北偏東45°的方向上，兩島相距10海里．小船P從海島B以2海里/小時(shí)的速度沿直線向海島A移動(dòng)，同時(shí)小船Q從海島A出發(fā)，沿北偏西15°方向以4海里/小時(shí)的速度移動(dòng)．
（1）求小船航行過程中，兩船相距的最近距離；
（2）求小船P處于小船Q的正東方向時(shí)，小船航行的時(shí)間．

Answer 1

分析 （1）設(shè)航行時(shí)間為t，利用余弦定理求出PQ的表達(dá)式，求出最小值．
（2）小船P處于小船Q的正東方向時(shí)，∠APQ=45°，利用正弦定理求出AQ，

解答 解：（1）設(shè)航行時(shí)間為t，（0≤t≤5），則AP=10-2t，AQ=4t，∠PAQ=45°+15°=60°，
∴PQ²=（10-2t）²+（4t）²-2（10-2t）•4tcos60°=28t²-80t+100，
∴PQ²的最小值是$\frac{4×28×100-8{0}^{2}}{4×28}$=$\frac{300}{7}$．∴PQ的最小距離是$\frac{10\sqrt{21}}{7}$．
（2）當(dāng)小船P處于小船Q的正東方向時(shí)，∠APQ=45°，∠AQP=75°，由正弦定理得：$\frac{AQ}{sin∠APQ}=\frac{AP}{sin∠AQP}$，
∴$\frac{4t}{sin45°}=\frac{10-2t}{sin75°}$，解得t=10-5$\sqrt{3}$．∴當(dāng)小船P處于小船Q的正東方向時(shí)，小船航行的時(shí)間為10-5$\sqrt{3}$小時(shí)．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了利用正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用，是中檔題．