Question

z為復(fù)數(shù)，（1+i）z為純虛數(shù)，若|

z

2+i

|=

2

5

，則z=

±

2

(1+i)

．

Answer 1

分析：先設(shè)出z的代數(shù)形式，代入（1+i）z進(jìn)行化簡(jiǎn)，再由純虛數(shù)的定義列出方程，得出a和b關(guān)系，再代入

z

2+i

進(jìn)行化簡(jiǎn)，需要分子和分母同乘以2-i，再由它的模進(jìn)行求值．

解答：解：設(shè)z=a+bi（a，b∈R），∴（1+i）z=a-b+（a+b）i，
∵（1+i）z為純虛數(shù)，∴

a-b=0 a+b≠0

，即a=b≠0，
∵

z

2+i

=

a+ai

2+i

=

a(1+i)(2-i)

(2+i)(2-i)

=

a(3+i)

5

，且|

z

2+i

|=

2

5

，
∴

9a2

25

+

a2

25

=

4

5

，解得a=±

2

，∴z=±

2

(1+i)，
故答案為：±

2

(1+i)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，以及純虛數(shù)的條件和復(fù)數(shù)模的公式，對(duì)于兩個(gè)復(fù)數(shù)相除時(shí)，需要分子和分母同時(shí)除以分母的共軛復(fù)數(shù)，考查了計(jì)算能力．