Question

7．已知圓C的圓心C在x軸上，且圓C與直線$x+\sqrt{3}y+n=0$相切于點(diǎn)$（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$．
（1）求n的值及圓C的方程；
（2）若圓M：${x^2}+{（{y-\sqrt{15}}）^2}={r^2}（{r＞0}）$與圓C相切，求直線$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$截圓M所得的弦長(zhǎng)．

Answer 1

分析 （1）利用點(diǎn)在直線上，求解n，求出垂線方程，求出圓心坐標(biāo)，求出半徑，即可得到圓的方程．
（2）利用兩個(gè)圓外切，求出半徑，利用半徑半弦長(zhǎng)，圓心到直線的距離，滿足勾股定理求解即可．

解答 解：（1）∵由$\frac{3}{2}+\sqrt{3}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}+n=0$，∴n=-3，
過點(diǎn)$（{\frac{3}{2}，\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）$與直線$x+\sqrt{3}y+n=0$垂直的直線方程為$\sqrt{3}x-y-\sqrt{3}=0$，
當(dāng)y=o，x=1時(shí)，得C（1，0），圓C半徑為$\sqrt{{{（{\frac{3}{2}-1}）}^2}+{{（{\frac{{\sqrt{3}}}{2}}）}^2}}=1$，
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=1．…（6分）
（2）∵$C（{1，0}），M（{0，\sqrt{15}}）$，
∴當(dāng)兩圓外切時(shí)，|CM|=4=1+r，∴r=3，當(dāng)兩圓內(nèi)切時(shí)，|CM|=r-1，∴r=5．
∵M(jìn)到直線$\sqrt{3}x-\sqrt{2}y=0$的距離為$d=\sqrt{6}$，
∴當(dāng)r=3時(shí)，弦長(zhǎng)為$2\sqrt{9-6}=2\sqrt{3}$，
當(dāng)r=5時(shí)，弦長(zhǎng)為$2\sqrt{25-6}=2\sqrt{19}$．…（12分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的方程的綜合應(yīng)用，兩個(gè)圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．