Question

2．定義在R上的函數(shù)f（x）滿足：f′（x）＞1-f（x），f（0）=6，f′（x）是f（x）的導(dǎo)函數(shù)，則不等式$f（x）＞1+\frac{5}{e^x}$（其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）的解集為（　�。�

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，0）∪（3，+∞）
• C． （-∞，0）∪（1，+∞）
• D． （3，+∞）

Answer 1

分析 構(gòu)造函數(shù)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），研究g（x）的單調(diào)性，結(jié)合原函數(shù)的性質(zhì)和函數(shù)值，即可求解．

解答 解：設(shè)g（x）=e^xf（x）-e^x，（x∈R），
則g′（x）=e^xf（x）+e^xf′（x）-e^x=e^x[f（x）+f′（x）-1]，
∵f'（x）＞1-f（x），
∴f（x）+f′（x）-1＞0，
∴g′（x）＞0，
∴y=g（x）在定義域上單調(diào)遞增，
∵$f（x）＞1+\frac{5}{e^x}$，
即e^xf（x）＞e^x+5，
∴g（x）＞5，
又∵g（0）=e⁰f（0）-e⁰=6-1=5，
∴g（x）＞g（0），
∴x＞0，
∴不等式的解集為（0，+∞）
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的結(jié)合，結(jié)合已知條件構(gòu)造函數(shù)，然后用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性是解題的關(guān)鍵．