Question

3．在單位正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E，F(xiàn)分別是B₁C₁，A₁D₁的中點(diǎn)．
（1）證明：BD⊥A₁C；
（2）求AC與平面ABEF夾角的正弦值．

Answer 1

分析 （1）通過證明BD⊥平面A₁AC得出BD⊥A₁C．
（2）過C作CM⊥BE與M，則可證CM⊥平面ABEF，故而∠CAM為所求的角．利用三角形相似求出CM，從而得出線面角的正弦值．

解答 證明：（1）∵AA₁⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴AA₁⊥BD．
∵四邊形ABCD是正方形，
∴BD⊥AC，
又AC?平面A₁AC，AC?平面A₁AC，AC∩AA₁=A，
∴BD⊥平面A₁AC，∵A₁C?平面A₁AC，
∴BD⊥A₁C．
（2）過C作CM⊥BE于M，連結(jié)AM，
∵AB⊥平面BCC₁B₁，MC?平面BCC₁B₁，
∴AB⊥MC，
又MC⊥BE，AB?平面ABEF，BE?平面ABEF，AB∩BE=B，
∴CM⊥平面ABEF，
∴∠CAM為直線AC與平面ABEF所成的角．
由△BB₁E∽△CMB得$\frac{B{B}_{1}}{CM}=\frac{BE}{BC}$，即$\frac{1}{CM}=\frac{\frac{\sqrt{5}}{2}}{1}$，解得CM=$\frac{2}{\sqrt{5}}$．
∴sin∠CAM=$\frac{CM}{AC}$=$\frac{\frac{2}{\sqrt{5}}}{\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{10}}{5}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，線面角的作法與計(jì)算，屬于中檔題．