Question

8．如圖所示，四棱錐P-ABCD的底面是邊長為a的菱形，∠DAB=60°，側(cè)面PAD⊥底面ABCD，PA=PD．
（1）證明：AD⊥PB；
（2）若PB=$\frac{\sqrt{5}}{2}$a，求三棱錐B-PCD的體積．

Answer 1

分析 （1）取AD的中點E，連結(jié)PE，BE．則利用三線合一得出PE⊥AD，BE⊥AD，故AD⊥平面PBE，于是AD⊥PB；
（2）利用勾股定理計算PE，代入棱錐的體積公式計算即可．

解答 證明：（1）取AD的中點E，連結(jié)PE，BE．
∵PA=PD，E是AD的中點，∴PE⊥AD．
∵四邊形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是正三角形，
∴BE⊥AD，
又PE?平面PBE，BE?平面PBE，PE∩BE=E，
∴AD⊥平面PBE．∵PB?平面PBE，
∴AD⊥PB．
（2）∵△ABD是邊長為a的正三角形，
∴BE=$\frac{\sqrt{3}a}{2}$，∴PE=$\sqrt{P{B}^{2}-B{E}^{2}}$=$\frac{\sqrt{2}a}{2}$．
∴V_B-PCD=V_P-BCD=$\frac{1}{3}{S}_{△BCD}•PE$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×a×a×sin60°×\frac{\sqrt{2}a}{2}$=$\frac{\sqrt{6}{a}^{3}}{24}$．

點評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計算，屬于中檔題．