Question

16．已知圓心為H的圓x²+y²+2x-15=0和定點A（1，0），B是圓上任意一點，線段AB的中垂線l和直線BH相交于點M，當點B在圓上運動時，點M的軌跡記為橢圓，記為C．
（Ⅰ）求C的方程；
（Ⅱ）過點A作兩條相互垂直的直線分別與橢圓C相交于P，Q和E，F，求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由圓的方程求出圓心坐標和半徑，由|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4可得點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，則其標準方程可求；
（Ⅱ）利用向量減法法則得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$=$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$，然后分直線PQ的斜率不存在、直線PQ的斜率為0及直線PQ的斜率存在且不為0時分別求解．當直線PQ的斜率存在且不為0時，設出直線方程，聯立直線方程和橢圓方程，利用根與系數的關系結合配方法求得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$的取值范圍．

解答 解：（Ⅰ）由x²+y²+2x-15=0，得（x+1）²+y²=4²，
∴圓心為H（-1，0），半徑為4，
連接MA，由l是線段AB的中垂線，得|MA|=|MB|，
∴|MA|+|MH|=|MB|+|MH|=|BH|=4，
又|AH|=2＜4，
故點M的軌跡是以A，H為焦點，4為長軸長的橢圓，其方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）由直線EF與直線PQ垂直，可得$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AQ}•\overrightarrow{AF}=0$，
于是$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=（\overrightarrow{AE}-\overrightarrow{AP}）•（\overrightarrow{AF}-\overrightarrow{AQ}）=\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$．
（1）當直線PQ的斜率不存在時，則直線EF的斜率的斜率為0，此時不妨取
P（$1，\frac{3}{2}$），Q（$1，-\frac{3}{2}$），E（2，0），F（-2，0），
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=（1，-\frac{3}{2}）•（-3，\frac{3}{2}）=-3-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$；
（2）當直線PQ的斜率為0時，則直線EF的斜率不存在，同理可得$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=-\frac{21}{4}$；
（3）當直線PQ的斜率存在且不為0時，則直線EF的斜率也存在，
于是可設直線PQ的方程為y=k（x-1），則直線EF的方程為y=$-\frac{1}{k}（x-1）$，
將直線PQ的方程代入曲線C的方程，整理得：
（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴${x}_{P}+{x}_{Q}=\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}，{x}_{P}{x}_{Q}=\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}$，
于是，$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}=（{x}_{P}-1）（{x}_{Q}-1）+{y}_{P}{y}_{Q}$=（1+k²）[x_Px_Q-（x_P+x_Q）+1]
=$（1+{k}^{2}）（\frac{4{k}^{2}-12}{3+4{k}^{2}}-\frac{8{k}^{2}}{3+4{k}^{2}}+1）=-\frac{9（1+{k}^{2}）}{3+4{k}^{2}}$．
將上面的k換成$-\frac{1}{k}$，可得$\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}=-\frac{9（1+{k}^{2}）}{4+3{k}^{2}}$，
∴$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=\overrightarrow{AE}•\overrightarrow{AF}+\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{AQ}$=$-9（1+{k}^{2}）（\frac{1}{3+4{k}^{2}}+\frac{1}{4+3{k}^{2}}）$，
令1+k²=t，則t＞1，于是上式化簡整理可得：
$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}=-9t（\frac{1}{4t-1}+\frac{1}{3t+1}）$=$-\frac{63{t}^{2}}{12{t}^{2}+t-1}=-\frac{63}{\frac{49}{4}-（\frac{1}{t}-\frac{1}{2}）^{2}}$．
由t＞1，得0$＜\frac{1}{t}＜1$，
∴$-\frac{21}{4}＜\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}≤-\frac{36}{7}$．
綜合（1）（2）（3）可知，所求$\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{QF}$的取值范圍為[$-\frac{21}{4}，-\frac{36}{7}$]．

點評 本題考查橢圓標準方程的求法，考查了直線與橢圓位置關系的應用，訓練了向量法在求解問題中的應用，屬中檔題．