Question

4．已知，在多面體EF-ABCD中，已知ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，EF=2，EF∥AB，平面FBC⊥平面ABCD，M，N分別是AB，CD的中點(diǎn)．
（1）求證：平面MNE∥平面BCF；
（2）若在△BCF中，CF=$\sqrt{10}$，BC邊上的高FH=3，求二面角E-AD-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）由ABCD是正方形，M、N是AB、CD中點(diǎn)，得MN∥BC，從而B(niǎo)FEM是平行四邊形，由此能證明平面MNE∥平面BCF．
（2）過(guò)E作ET⊥MN，于T，延長(zhǎng)HT交AD于K，作出二面角的平面角，結(jié)合三角形的邊角關(guān)系進(jìn)行求解即可．

解答 （1）證明：∵ABCD是正方形，M、N是AB、CD中點(diǎn)，
∴MN∥BC，
∵M(jìn)B=2=EF，EF∥AB，
∴BFEM是平行四邊形，
∴ME∥BF，
∵M(jìn)N，ME?平面MNE，BC，BF?平面BCF，
∴平面MNE∥平面BCF
（2）過(guò)E作ET⊥MN，于T，
延長(zhǎng)HT交AD于K，
則HK⊥AD，連接EK，
則EK⊥AD，
即∠EKT是二面角E-AD-B的平面角，
∵BC邊上的高FH=3，
∴EN=FH=3，KT=2，
則EK=$\sqrt{{3}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{9+4}$=$\sqrt{13}$，
則cos∠EKT=$\frac{KT}{EK}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}=\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查平面與平面平行的證明，考查二面角的求法，根據(jù)條件作出二面角的平面角是解決本題的關(guān)鍵．解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．