Question

【題目】設(shè)函數(shù)f（x）= ﹣k（ +lnx）（k為常數(shù)，e=2.71828…是自然對數(shù)的底數(shù)）． （Ⅰ）當(dāng)k≤0時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（Ⅱ）若函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求k的取值范圍．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞）， ∴f′（x）= ﹣k（ ﹣ ）
= （x＞0），
當(dāng)k≤0時(shí)，kx≤0，
∴ex﹣kx＞0，
令f′（x）=0，則x=2，
∴當(dāng)0＜x＜2時(shí)，f′（x）＜0，f（x）單調(diào)遞減；
當(dāng)x＞2時(shí)，f′（x）＞0，f（x）單調(diào)遞增，
∴f（x）的單調(diào)遞減區(qū)間為（0，2），單調(diào)遞增區(qū)間為（2，+∞）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，k≤0時(shí)，函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)單調(diào)遞減，
故f（x）在（0，2）內(nèi)不存在極值點(diǎn)；
當(dāng)k＞0時(shí)，設(shè)函數(shù)g（x）=ex﹣kx，x∈（0，+∞）．
∵g′（x）=ex﹣k=ex﹣elnk ，
當(dāng)0＜k≤1時(shí)，
當(dāng)x∈（0，2）時(shí)，g′（x）=ex﹣k＞0，y=g（x）單調(diào)遞增，
故f（x）在（0，2）內(nèi)不存在兩個(gè)極值點(diǎn)；
當(dāng)k＞1時(shí)，
得x∈（0，lnk）時(shí)，g′（x）＜0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞減，
x∈（lnk，+∞）時(shí)，g′（x）＞0，函數(shù)y=g（x）單調(diào)遞增，
∴函數(shù)y=g（x）的最小值為g（lnk）=k（1﹣lnk）
函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)
當(dāng)且僅當(dāng)
解得：e
綜上所述，
函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)時(shí)，k的取值范圍為（e， ）
【解析】（Ⅰ）求出導(dǎo)函數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）函數(shù)f（x）在（0，2）內(nèi)存在兩個(gè)極值點(diǎn)，等價(jià)于它的導(dǎo)函數(shù)f′（x）在（0，2）內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．
【考點(diǎn)精析】通過靈活運(yùn)用利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的極值，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導(dǎo)數(shù)的正負(fù)有如下關(guān)系： 在某個(gè)區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個(gè)區(qū)間單調(diào)遞減；極值反映的是函數(shù)在某一點(diǎn)附近的大小情況即可以解答此題．