Question

【題目】已知F1 ， F2是橢圓和雙曲線的公共焦點(diǎn)，P是它們的一個(gè)公共點(diǎn)．且∠F1PF2= ，則橢圓和雙曲線的離心率的倒數(shù)之和的最大值為（ ）
A.
B.
C.3
D.2

Answer 1

【答案】A
【解析】解：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a，雙曲線的實(shí)半軸為a1 ， （a＞a1），半焦距為c， 由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)|PF1|=r1 ， |PF2|=r2 ， |F1F2|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e1 ， e2
∵∠F1PF2= ，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos ，①
在橢圓中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a2﹣3r1r2 ，
即 ，②
在雙曲線中，①化簡(jiǎn)為即4c2=4a12+r1r2 ，
即 ，③
聯(lián)立②③得， =4，
由柯西不等式得（1+ ）（ ）≥（1× + ）2 ，
即（ ） =
即 ，d當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí)取等號(hào)，
法2：設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸為a1 ， 雙曲線的實(shí)半軸為a2 ， （a1＞a2），半焦距為c，
由橢圓和雙曲線的定義可知，
設(shè)|PF1|=r1 ， |PF2|=r2 ， |F1F2|=2c，
橢圓和雙曲線的離心率分別為e1 ， e2
∵∠F1PF2= ，
∴由余弦定理可得4c2=（r1）2+（r2）2﹣2r1r2cos =（r1）2+（r2）2﹣r1r2 ，
由 ，得 ，
∴ = ，
令m= = = ，
當(dāng) 時(shí)，m ，
∴ ，
即 的最大值為 ，
法3：設(shè)PF1|=m，|PF2|=n，則 ，
則a1+a2=m，
則 = ，
由正弦定理得 = ，
即 = sin（120°﹣θ）≤ =
故選：A
根據(jù)雙曲線和橢圓的性質(zhì)和關(guān)系，結(jié)合余弦定理即可得到結(jié)論．