Question

已知函數，函數g（x）=3（x-1）²．
（Ⅰ）若函數f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直，求a的值；
（Ⅱ）當a＞0時，分別求出f（x）和g（x）的單調區(qū)間；
（Ⅲ）討論方程f（x）=g（x）的解的個數．

Answer 1

解：（Ⅰ）由已知得f'（x）=3ax²-3ax…（1分）
∵函數f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直
∴f'（2）=-1，即12a-6a=-1，解得…（3分）
（Ⅱ）f'（x）=3ax²-3ax=3ax（x-1）
∵a＞0，由f'（x）＞0可得x＜0或x＞1；由f'（x）＜0可得0＜x＜1
∴函數f（x）的單調遞增區(qū)間為（-∞，0），（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（0，1）…（5分）
函數g（x）=3（x-1）²單調遞增區(qū)間為（1，+∞），單調遞減區(qū)間為（-∞，1）…（6分）
（Ⅲ）令，
則．…（8分）
①若a=0，則φ（x）=-3（x-1）²，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解；
②若a＜0，則φ（x）的極大值為φ（1）=-＞0，φ（x）的極，小值為φ（）=-+-3＜0
∴φ（x）的圖象與x軸有三個交點，即方程f（x）=g（x）有三個解；．…（10分）
③若0＜a＜2，則φ（x）的極大值為，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，
即方程f（x）=g（x）只有一個解； …（11分）
④若a=2，則φ'（x）=6（x-1）²≥0，φ（x）單調遞增，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，
即方程f（x）=g（x）只有一個解； …（12分）
⑤若a＞2，由（2）知φ（x）的極大值為，
∴φ（x）的圖象與x軸只有一個交點，即方程f（x）=g（x）只有一個解； …（13分）
綜上所述，若a≥0，方程f（x）=g（x）只有一個解；若a＜0方程f（x）=g（x）有三個解．…（14分）
分析：（Ⅰ）求導函數，利用函數f（x）在x=2處的切線與直線x-y+1=0垂直，可得切線的向量，從而可求a的值；
（Ⅱ）求導函數，利用導數的正負取得函數的單調區(qū)間；
（Ⅲ）構造新函數，求導函數，分類討論，確定極值的大小，從而可得方程解的個數．
點評：本題考查導數知識的運用，考查函數的單調性，考查函數的極值，考查分類討論的數學思想，屬于中檔題．