Question

17．已知函數f（x）=2x+alnx．
（1）求函數f（x）的單調遞增區(qū)間；
（2）若不等式f（x）≥（a+3）x在（0，+∞）上恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）先求出函數的導數，通過討論a的范圍，得到函數的單調性即可；
（2）問題轉化為a≤$\frac{x}{lnx-x}$在（0，+∞）恒成立，令g（x）=$\frac{x}{lnx-x}$，通過求導得到g（x）的最小值，從而求出a的范圍即可．

解答 解：（1）f（x）的定義域是R，
f′（x）=2+$\frac{a}{x}$=$\frac{2x+a}{x}$，
a≥0時：f′（x）＞0在（0，+∞）恒成立，
∴f（x）在（0，+∞）遞增；
a＜0時：令f′（x）＞0，解得：x＞-$\frac{a}{2}$，
∴f（x）在（-$\frac{a}{2}$，+∞）遞增；
（2）若不等式f（x）≥（a+3）x在（0，+∞）上恒成立，
即a（lnx-x）≥x在（0，+∞）恒成立，
∵lnx-x＜0，
∴只需a≤$\frac{x}{lnx-x}$在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=$\frac{x}{lnx-x}$，則g′（x）=$\frac{lnx-1}{{（lnx-x）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞e，
令g′（x）＜0，解得：0＜x＜e，
∴g（x）在（0，e）遞減，在（e，+∞）遞增，
∴g（x）_min=g（e）=$\frac{e}{1-e}$，
∴a≤$\frac{e}{1-e}$．

點評 本題考查了函數的單調性、恒成立問題，考查導數的應用，是一道中檔題．