Question

2．設(shè)函數(shù)f（x）=（x-2）lnx-ax+1，若存在唯一的整數(shù)x₀，使得f（x₀）＜0，則a的取值范圍是（　�。�

• A． （0，$\frac{1+ln3}{3}$）
• B． （$\frac{1}{2}$，$\frac{1+ln3}{3}$]
• C． （$\frac{1+ln3}{3}$，1）
• D． [$\frac{1+ln3}{3}$，1）

Answer 1

分析 設(shè)g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，問題轉(zhuǎn)化為存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線y=ax-1的下方，求導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，數(shù)形結(jié)合可得g（1）≥h（1）=a-1且h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，h（2）＞g（2），解關(guān)于a的不等式組可得．

解答 解：設(shè)g（x）=（x-2）lnx，h（x）=ax-1，
由題意知存在唯一的整數(shù)x₀使得g（x₀）在直線y=h（x）=ax-1的下方，
∵g′（x）=lnx+1-$\frac{2}{x}$，
∴當(dāng)x≥2時(shí)，g′（x）＞0，當(dāng)0＜x≤1時(shí)，g′（x）＜0，
當(dāng)x=1時(shí)，g（1）=0，當(dāng)x=1時(shí)，h（1）=a-1＜0，即a≤1．
直線y=ax-1恒過定點(diǎn)（0，-1）且斜率為a，
由題意結(jié)合圖象可知，存在唯一的整數(shù)x₀=2，f（x₀）＜0，
故h（2）=2a-1＞g（2）=0，h（3）=3a-1≤g（3）=ln3，解得$\frac{1}{2}$＜a≤$\frac{1+ln3}{3}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查導(dǎo)數(shù)的運(yùn)用：判斷單調(diào)性，涉及數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化的思想，屬中檔題．